在前两次的学术研讨会上，我对珠心算加减法、一口清的教学与训练进行了详细的介绍，受到了大家的一致好评，很多老师在教学实践中进行了应用，收到了较好的效果。为了珠心算教学体系的完整性，结合自己的教学实践，今天我再把多位数乘除法的有关教学和训练方法与大家进行交流。不当之处请批评指正！

一、要确定好多位数乘除法的学习目标

多位数乘除法的学习，首先要确定好学习的目标和方向，即是为了培养普及型学生，还是培养优秀选手的学生。如果只是培养普及型的学生，我们在基础知识的学习阶段，主要学习掌握九九口诀（小九九口诀或大九九口诀）的知识就可以了。如果要培养优秀选手的学生，就要学习掌握一口清的知识，才能对今后多位数乘除法的学习，打下坚实的基础。其中的道理大家是很容易理解的。

应用九九口诀解决多位数乘除法的问题，很多教材都介绍的非常详细，在座的老师也都掌握这方面的知识，所以在此就不给大家介绍了。我所介绍的主要是应用一口清的知识如何解决多位数乘除法学习。

一口清教学与训练的内容知识，我在2010年桂林研讨会上给大家进行了介绍，同年《珠算与珠心算》杂志又进行了刊登。在此不再赘述。

二、多位数乘除法的基本原理

多位数乘除法的计算方法，是根据多位数乘除法的计算法则，采取多位数加减法的运算形式，而完成累加、递减的过程。因此，我们要进行多位数乘除法的学习，就要具备两个基础知识，一口清和多位数加减法能力。即乘法为一口清的累加、除法为一口清的递减。一个“累”字和一个“递”字，又决定了它与纯粹加减法的区别。这个区别的原因就是由多位数乘除法的运算法则而决定的。乘法为“首积进位本档加，首积不进退档加”。除法为“数大隔位商，隔档减积数，数小挨位商，挨档减积数”。因此出现了“同位相加减”和“错位相加减”的差异。所以说，多位数乘除法的学习，是一个综合知识的分析、判断、理解、应用的过程。

三、如何进行乘法的教学？

在进行乘法教学时，除了具备上述两大基础知识外，还要根据它的运算法则，掌握衍生出来的基础知识。如什么叫首积？什么叫首积进位？什么叫首积不进位？那个是本档？那个是退档？是由谁来决定的？什么叫数位？什么叫位数？位数为几种？等等。只有解决好这些基础知识，才能顺利地完成一道乘法的计算。

四、如何破解乘法的运算法则？

首积：当每个乘数与被乘数相乘时，所得乘积的第一个数字，即积的首位数。简称“首积”。

首积进位：积的首位数比被乘数的首位数小时，称为首积进位。简称“积首＜被首”。

首积不进：积的首位数比被乘数的首位数大时，称为首积进位。“积首＞被首”。

如果出现完全相等的现象，也就当乘数中有“1”的时候。又该如何处理？

什么是本档？什么是退档？要结合算盘进行对比指导。它的位置主要是由乘数所在的位置来决定的。在乘数中从左向右数起，每个乘数在第几位上，那么它的本档就在算盘左起的第几个档位上。即当乘数在第一位时，那么算盘的第一档就是它的本档、第二档就是它的退档。……

什么是本档加？什么是退档加？即当乘数在第一位时，有进位（积首＜被首），那么就在算盘的第一档（本档）加、没有进位（积首＞被首），那么就在第二档（退档）加。……

五、如何解决乘法的定位问题？

根据乘法运算法则的破解，我们采用空盘前乘法的形式，已经能够计算一般的乘法试题了。但是对于一些特殊的乘法试题，我们还需要应用新的知识来解决。如25ｘ4=100、250ｘ4=1000、3.64ｘ0.25=0.91等此类问题。因为在算盘上即体现不出积的后面是否有“0”，而且有几个“0”？也体现不出小数点所在的位置。那么如何解决此类问题呢？这就需要在会算的同时，还要掌握乘法的定位方法，才能使这些问题得到圆满的解决。

乘法的定位方法，通常采用的是公式定位法和固定个位法，我们所介绍的是结合算盘和公式定位法来进行定位，更简洁方便。我把它称为“盘上公式定位法”。即根据算盘的第一档位上是否有数来进行判断。第一档位上有数，就用公式[一]：M+N，没有数就用公式[二]：M+N-1，在运算过程中很自然的观察出来第一档上是否有数，从而快速地解决积的定位问题。

六、如何正确区分位数问题

在乘除法定位问题中，还要正确地解决被乘数、被除数与乘数、除数的位数问题。即正确区分正位数、0位数、负位数等相关知识。

正位数：整数和带小数都是正位数。即一个数的第一个有效数字在小数点前有几位，该数的位数就是正几位。如870是正三（+3）位；15.78是正二（+2）位。

0位数：小数点与它的第一个有效数字之间没有0的纯小数。即一个数的第一个有效数字在小数点后一位，这样的数都统称为0位。如0.871和0.1054都是零（0）位。

负位数：小数点与它的第一个有效数字之间有0的纯小数。即一个数的第一个有效数字在小数点后有0的数，这样的数都统称为负位数，有几个0，就称为负几位。如0.071是负一（-1）位；0.0058是负二（-2）位。

这里既然有正、负数之分，在进行定位计算时，还要注意有理数的计算，确保定位的准确性。

七、计算一道乘法题的基本步骤

1、确定第一档位：为了简便明了，就利用算盘左起的第一个档位，为第一个乘数首积进位档的档位。

2、计算一口清：通过心算求出每个乘数与被乘数的乘积。变“九九口诀”为群积。

3、比较大小：将每次一口清乘积的首位数与被乘数的首位数相比较，判断首积进位还是不进位，从而确定是本档加还是退档加。

4、继续累加：根据乘数所在的位置，将所有乘数与被乘数的一口清进行累加，完成每一步的运算。

5、积的定位：完成所有的运算后，根据第一档上是否有数来决定应该用公式[一] M+N，还是用公式[二] M+N-1来进行定位。

6、抄写答数：根据定位的计算，求得积的末尾有几个0或者小数点所在的位置，按四舍五入的办法，正确地写出结果。

所以计算一道乘法题需要六步：即确定第一档→一口清→比较→累加→定位→写积

八、如何进行除法的教学

在进行除法教学时，除了具备上述两大基础知识外，还要根据它的运算法则，掌握在法则中衍生出来的基础知识。如什么叫数大？什么叫数小？什么叫隔位商？什么叫挨位商？等等。只有解决好这些基础知识，才能顺利地完成一道除法的计算。

九、如何破解除法的运算法则

除法为“数大隔位商，隔档减积数，数小挨位商，挨档减积数”。法则是珠算方面的语言叙述，为了使学生容易理解接受，把它变成数学方面的语言叙述。即改为“够除隔位商，隔档减积数，不够除挨位商，挨档减积数”。这样就化解了数大、数小的问题。

数大（够除）：被除数的首位数比除数的首位数大时，简称“被首＞除首”。

数小（不够除）：除数的首位数比除数的首位数小时，称为首积进位。简称“被首＜除首”

如果出现完全相等的现象，也就当被除数和除数出现完全相等的时候。又该如何处理？

十、如何解决除法的定位问题

同样除法的定位方法也主要包括，公式定位法和固定个位法，为了便于和乘法的定位方法区别开，除法的定位方法，我们采取固定个位法，也称作算前定位法。即先确定好商的个位，那么其它的数位就自然而然的排列出来。

采取固定个位法是一种很简单的定位形式，但在运算过程中，关键的一步是如何将被除算拨入算盘，通常我们所说的“布数”。布数的办法是通过计算求得的，即被除数的位数―除算的位数―1。写成公式=a―b―1或 a―(b+1)。结果是几，就在第几档位上开始布置被除数。这里又出现了一个档位的问题，如何破解数位问题和档位问题，这是除法运算的重要一环。

数位问题和档位问题是一组对应的关系，在应用过程中，又有各自的侧重，即档位主要用于解决被除数首位数拨珠的问题，数位主要是用于解决商的问题，。

……（+5档）（+4档）（+3档）（+2档）（+1档）（0档）（-1档）（-2档）……（用于布数）

…… 万位 千位 百位 十位 个位 十分位 百分位 千分位……（用于定商）

因此，牢记它们的对应关系，是正确解决多位数除法过程中，迈出的关键一步。

十一、计算一道除法题的基本步骤

1、确定商的个位：采取固定个位方法，确定商的个位，算盘左起第二个分节点定为商的个位。

2、确定被首拨珠档位：通过公式=a―b―1或 a―(b+1)的心算，求出被除数首位数拨珠的档位，并进行拨被除数。

3、比较大小：即观察够除还是不够除。够除就在被除数的首位数隔位立商，不够除就在被除数的首位数挨位立商。

4、进行试商：试算除数与几的“一口清”最接近或等于被除数，这个“几”，就叫做估商或试商。

5、减积数，将试出的商与除数用一口清计算，心算得出乘积，简称“积数”。在被除数中按照递减的方法减积数，完成一次计算。

6、继续运算：通过新的被除数再次与除数比较大小、试商、立商、心算积数、减积数……直至达到题中要求为止。如果是小数除法，按照四舍五入的方法进行取舍，保留到相应位数。

所以计算一道乘法题需要六步：即商定位→布数→比较→立商→减积数→写商。

十二、多位数乘除法的训练方法

1、既然选择了一口清的学习，一定要强化一口清的训练，把它作为基础知识的重要内容，不断巩固提高。为更好地立商，还要强调一口清逆运算的练习。

2、加强珠算加减法的训练，要做到坚持不懈。 对错位累加和错位递减的运算形式，要有意的进行训练，避免与真正加减法混淆，促进多位数乘除法找准相应的档位。

3、突破重点题型的训练，强调各类题型的综合应用，提高学生对解决问题的分析、判断能力。

4、乘法中强调学生记忆被乘数，眼看乘数，边观察边计算每一步的一口清，增强判断首积进位本档加，首积不进退档加的反应程度，快速找出累加的档位。

5、根据第一档是否有数的观察，快速地看准被乘数和乘数的位数，根据公式[一]或者公式[二]，正确的求出积的位数，表明积末尾“0”的个数和小数点所在的位置。

6、有意训练学生，，把被乘数和乘数颠倒位置进行计算，并自我检验结果的正确与否。

7、要由浅入深地进行乘除法的训练，如2位ｘ2位、2位ｘ3位、3位ｘ2位……；÷2位=2位、÷2位=3位、÷3位=2位……逐渐到达更高的位数。

8、除法中强调学生记忆除数，眼看被除数，边立商边计算每一步的一口清，并在被除数中快速地减积数。

9、估商要准确，避免偏大或偏小，做到商与除算的一口清、被除数减积数都能正确无误。

观察“够除”与“不够除”，后，严格按照“够除隔位商”，“不够除挨位商”的法则，进行立商、进行减积数。

10、在除法中要强调左手立商，右手减积数的默契配合，同样一道乘除法计算完成后，一定强调右手写答案的同时，左手清盘。做到左右手的协调与配合。

11、乘法与除法做到同步练习，培养学生不断处理各种矛盾问题的能力。在强调看算训练的同时，也要强化念算的训练，培养学生在头脑里快速解决复杂问题的水平，同时提高他们的记忆力。

总之，多位数乘除法的教学，最终都要归结到加减法的范畴之内，即乘法转化为一口清的累加；除法转化为一口清的递减。在学练过程中，也就化繁为简、化难为易了。使整个运算真正地发挥出一口清的重要作用，快速、准确、一气呵成的效果。

    来    源：吉林省珠算心算协会